1.1.1

p (x) = 2x² - 8 
                   81
= 2 (x² - ⁴/₈₁)
= 2 (x - ²/₉) (x + ²/₉)

OR
p(x) =162x² - 8
               81
= 2(81x² - 4)
         81
= 2(9x - 2)(9x + 2)
              81

common factor  A 
both factors CA

OR
common factor A
both factors CA (2)

1.1.2

p(x) = 2 (x - ²/₉) (x + ²/₉) = 0
x =²/₉   or  x = - ²/₉    

OR
x = ± ²/₉  OR x ≈ ± 0, 22 
OR

x =²/₉   or  x = - ²/₉  OR
x = ± ²/₉  OR x ≈ ± 0,22

both values of CA

OR
both values of CA (1)

3x² + x - 10 + 13 = 0
3x² + x + 3 = 0
x = -  b ± √b² - 4ac
                2a
x = - (1) ±    (1)² - 4(3)(3)
                   2(3)
x = -1 ±  √- 35
            6 
x = -1± √35 i   OR  x ≈ -1± 5,92i
           6                             6

OR
x = -1 + √35 i or  - 1 - √ 35 i
      6        6           6       6

OR 
x ≈ - 0,17 + 0,99i   or   x ≈ -0,17 - 0,99i

OR 
x = -1 + √35 i OR x ≈- 0,17 ± 0,99i
      6        6  

standard form A
SF   CA
S     CA

√−35 = √35 i    CA

both x-values CA

(4 – x) (x + 3) < 0      OR  (x – 4 ) (x + 3) > 0
CV :     x = -3 and  x = 4

x < -3 or x > 4 OR
x ∈ ( -∞; - 3) ∪ (4;∞)

both critical values    A
correct notation for each interval      CA

Accept Number Line (3)

y = 3x - 8
x² - xy + y² = 39
x² - x (3x - 8) + (3x - 8)² = 39
x² - 3x² + 8x + 9x² - 48x + 64 - 39 = 0
7x² - 40x + 25 = 0
(x - 5)(7x - 5) = 0 OR
x = - (-40) ± √(40)² - 4(7)(25)
                      2(7)
x = 5   or x = ⁵/₇ OR  0,71
y = 3(5) - 8 = 7  or  y = 3(⁵/₇) - 8 = - ⁴¹/₇

OR  
y ≈ - 5,86

OR
y = 3x - 8
x² - xy + y² = 39
x = y + 8
        3
x² - xy + y² = 39
(y + 8)² - y(y + 8) + y² = 39 
    3               3 
y² +16 y + 64 - y ² - 8y +  y² = 39
           9           3       3 
y² +16y + 64 - 3y² - 24y + 9y² = 351
7y² - 8y - 287 = 0
( y - 7)(7 y + 41) = 0 OR
x = -(-40) ± √(40)² - 4(7)(25)
                     2(7)
y = 7  or  y = - ⁴¹/₇ OR  y ≈ - 5,86
                                  - 41 + 8
x =  7 + 8 = 5 or  x =    7        = 5 
         3                          3          7
OR  x ≈ 0,71

S    CA
standard form CA

factors or formula CA

both x-values   CA

both y-values CA

OR

substitution   A
S     CA

standard form CA

factors/ formula CA

both y-values CA

both x-values CA

(6)

V = I x Z
I = V       OR   I = VZ^-1
     Z

dividing by A (1)

I = V 
     Z
=   7i  
   3 - i
=   7i   x  3 + i 
    3 - i    3 + i
= 21i + 7i²
      9 - i²
= 21i + 7(-1)
      9 - (-1)
= - 7 + 21i    OR – 0,7 + 2,1i OR
       10
- 7 + 21i
10    10

substitution CA
M    multiply by 3 + i
                         3 + i   A
S    CA
value of i²    A
value of current     CA
NPU

(5)

       1  0   1₂
       x  1   1₂
       1   0  1₂ 
+  1   0  1  0₂ 
   1  1   1   1₂ 

OR
101₂ x 11₂ =5 x 3 = 15 OR 1111₂

M        A
1111₂      A

OR 
both 5 and 3      A
1111₂     OR 15     A
AO: Full marks   (2)

[25]

2.1.1

G = √ p + 1 
         2p - 1

2 p -1 = 0
p = ½ 

p = ½     A 
(1)

2.1.2

p +1 = 0
p = -1

 p = -1        A
(1)

2.2

x² - k + 4 = 5x
x² - 5x - k + 4 = 0
b² - 4ac ≥ 0
( - 5)² - 4(1)( - k + 4)  ≥ 0 

25 + 4k -16 ≥ 0
4k + 9 ≥0
k ≥ -  ⁹/₄

standard form      A
the discriminant ≥ 0      A
SF           A
S    CA
values of   CA

(5)

[7]

3.1

(- 2 ⁴ √a³ )⁸
= (-2)⁸ (a³ )^8/₄
= 256 a⁶

256      A
a⁶   A (2)

3.2 

log₂ (3x - 2) + log₂0,5 = 3
log₂ (3x - 2) + log₂ 2^-1   = 3
log₂ (3x - 2) - 1 = 3
log₂ (3x - 2) = 4
(3x - 2) = 2⁴
3x - 2 = 16
x = 6

OR
log₂ (3x - 2) + log₂0,5 = 3
log₂ (0,5)(3x - 2) = 3
(0, 5)(3x - 2) = 2³
(0,5)(3x - 2) = 8
3x - 2 =16
x = 6

OR
log2 (3x - 2) + log₂ 0,5 = 3
log2 (3x - 2) = 3 - log₂ 0,5
log2 (3x - 2) = 3log₂2 - log₂ 0,5
log2 (3x - 2) = log₂ 8 - log₂ 0,5
log  (3x - 2) =log₂(⁸/_0.5)
3x - 2 =16
x = 6

OR
log₂ 0,5(3x - 2) = log₂2³
log₂ 0,5(3x - 2) = log₂ 8
0,5(3x - 2) = 8
3x - 2= 16
x = 6

OR
log₂ (3x - 2) + log₂ 0,5 = 3
log₂(3x - 2) - log₂ 2 = 3
log₂ (3x - 2) = 3
           2  
(3x - 2) = 2³
     2
3x - 2 = 16
x = 6

log₂ 0, 5 =-1     A
S            CA
exponential form  CA
correct value   CA

OR
log property  A
exponential form   A
S      CA
correct value  CA

OR 

log property   A
log property    A
S              CA

correct value CA
log property     A
ü log property    A
S          CA

correct value  CA

OR
log property       A
log property       A
S               CA

correct value CA
(4)

log 0, 6
= log( 0, 6 )^½ OR log (0,3 x 2 )^½  OR log ( 0,2 x 3 )^½ 
= ½ log(⁶/₁₀)  OR  ½ log(0,3 x 2 ) OR ½ log (0,2 x 3)
= ½ log(3 x 2) 
               10
= ½ ( log 3 + log 2 - log10) 
= ½ ( b + a - 1 )      OR/ ½ b + ½ a - ½ 

OR
log √0, 6 = log √³/₅
= ½ log 3 - ½ log 5
√log 0 , 6 = ½ log 3 + ½(log 2 -log10)
= ½ ( b + a - 1 ) OR  ½ b + ½ a - ½  

exp. form A
conversion of  0,6 A
log property A
log10 =1 CA
substitution CA

OR
conversion of 0,6 A
log property  A
conversion of log 5 A
log10 =1  CA
substitution  CA

(5)

V = 2(cos 240° + i sin 240°)
OR
V = 2(cos ³/₄π + i sin ³/₄π )

V = 2(cos 240°+ i sin 240°) OR
V = 2(cos³/₄π + i sin³/₄π )
V = 2 (-½  - ^√3/₂i) 
V = - 1 -√ 3 i

OR
θ = 60° [ref angle]
tan 60° =√3 =  ^√3/_-1 
V = -1- √3i

CA from Q/3.4.1
value of cos 240° OR cos³/₄π
CA
value of sin 240° OR sin³/₄π
CA
V in rect. form   CA

OR
ref. angle  A
tan ratio  A
V in rect form CA
AO: Full marks  (3)

m + ni = 2(6 - 4i)- (- 7i)
=12 -8i + 7i = 12 -i
m = 12  and  n = -1

OR
m = 2(6) = 12and n = 2( - 4) -( -7) =-1

value of m  A
value of n    A

OR
value of m   A
value of n   A (2)
AO: Full marks   [17]

4.1.1

( x - 5)( x + 3) = 0
x = 5 or x = -3 OR (5;0) and  (-3;0)

both values of A
(1)

4.1.2

q (x) = 12  - 2
           x
12 - 2 = 0
 x
2x = 12
x = 6   OR   (6; 0)

OR
q (x) = a + p
           x
x = a   [q (x) = 0 ]
    - p
=  12  
   -(-2)
= 6    OR  (6; 0)

y = 0     A
x - value   CA

OR
y = 0       A
x - value

CA (2)

AO: Full marks

x = 5 - 3 = 1
        2
k (1) = (1- 5)(1+ 3) = -16
TP/DP    (1; -16 )

OR
( x - 5)( x + 3) = 0
x² - 2x -15 = 0
x = - b = -(-2) = 1
      2a    2 (1)
k (1) = (1)²  - 2 (1) -15 = -16  OR
y = 4ac - b²=  4(1)(-15) -(-2)² = -16
         4a                4 (1)

TP( 1 ; -16) 

OR
k ^/ (x) = 2x - 2
2x - 2 = 0
x = 1
k(1) = (1)²  - 2(1)-15 = -16
TP (1 ;-16)

M   CA
x = 1
y = -16

OR
M  CA
x = 1
y = -16 

OR
M   A
x = 1  A 
y = -16  CA

y = -2
x = 0

y = -2
x = 0 (2)

Graph:
x-intercepts   CA
y-intercept  CA
shape      A
turning point CA

Graph q:
hor. asympt A
x-intercepts CA
shape A   (7)

value of  A
Accept  (1)

h(x) = a^x - 4
- 2 = a^-1 - 4
a = ½
h(x) = (½)^x - 4

substitution CA
correct value of   CA
(2)

x = 0  A
y = - 3  CA  (2)

range  CA (1)

p ( x ) = -√ 9 - x²
w( x ) = √ 9 - x²  
OR    
w(x) =√r²  - x²

AO: Full marks

endpoints    A
correct notation A (2)

[25]

5.1.1

R11 000

new value  A (1)

5.1.2

A = R5 500    P = R11 000  n = 5  i = ?
A = P(1-in)
R5 500 = R11 000(1- i  x (5))
      R5 500   -1
i = R11 000     
          -5
= 0,10
= 10%

SF     CA
making i the subject/ CA
interest rate    CA

AO: Full marks  (3)

5.2 #

A = P( 1 + i )ⁿ
273 = 200 ( 1 + 3, 5% )ⁿ
273 = ( 1, 035 )ⁿ
200
           log 273
n =           200  OR n = log_1,035  273
      log(1, 035)                           200
≈ 9, 04 years
the year 2018 

OR
A₁ = R200 (1+ 3,5%)¹ ≈ R207
A₂ = R200 (1+ 3,5%)² ≈ R214,25
A₉ = R200 (1+ 3,5%)⁹  ≈ R272,58
A₁₀  = R200 (1+ 3,5%)¹⁰ ≈ R282,12
the year 2018

SF           A
S           CA
log property  CA
value of CA
correct year CA

OR
SF        A
S        CA
SF           A
S           CA
correct year  CA
NOTE:
Accept 2019
NPR (5)

Value of the investment after initial deposit:
A = P(1+ i )n
= R293 000 (1 + 6, 7 %)^2x4 
                              4
R 334 642, 4791
R334 642,4791+ R95 000 = R429 642,4791

Value of the investment after adding R95 000 :
= 429 642, 4791 (1+ 6, 7 %)^2x4 
                                     4
R490 705, 2026

Value of the investment after change in interest rate:
= R490705, 2026 (1+ 7.5 %)^4x12 
                                     4
R661 764, 62 > R 660580

Yes she has accumulated sufficient funds.

OR

Yes she has accumulated sufficient funds.

OR

R 661 764 , 62 > R 660 580
Yes she has accumulated sufficient funds. 

OR

R 282 547 , 91    < R 293 000
Yes she has accumulated sufficient funds. 

OR

2 years:
A = P(1+ i)ⁿ  = R293 000 (1+ 0, 068...)²  + R95 000
R 429 642, 48
4th year:
A = R429 642, 48 (1+ 0, 068...)²  » R490 705, 20
5 – 8 years:

A = R490705, 2026 (1+ 7.5 %)^{4 x 12} 
                                         4
R661 764,62  > R 660580
Yes she has accumulated sufficient funds

OR
A = P(1+ i )ⁿ
A₀ = R293 000 ( 1 + 0, 067)^4x4  
                                     4
R 382 203, 3749
A₁  = R382 203, 3749 (1 + 0, 075)^4x12 
                                              12
R 515 439,147

A₂ = R95 000 ( 1+ 0, 067)^2x4  
                                 4
R108 501,8277
A3  = R108 501,8277(1 + 0, 075)^4x12
                                             12
R146 325, 4728
A₁ + A₃    »   R661 764,62 > R 660580
Yes she has accumulated sufficient funds

SF         A
S              CA
S           CA
SF                      A
S                     CA

value of i and n   A
S                     CA
conclusion CA

OR

M                      A
SF                   A
value of i and n  A
adding
R95 000       A
change of rate            A
S                      CA
conclusion  CA

OR

M    

SF  A
value of i and n  A
adding R95 000 with interests  A
change of rate              A
S                      CA
conclusion  CA

OR
M              A
SF            A
value of i and n  A
subtracting R95 000 with interests         A
change of rate            A
S                      CA
conclusion  CA

OR
SF                A
S                     CA
SF                  CA
S                     CAa
S                     CA
value of i and n  A
S                   CA
conclusion  CA OR
SF                      A
S                     CA
SF                      A
S                     CA
S                     CA
value of i and n A

NOTE:

1) Max. 4 marks if Simple Interest is used.
2)  Max. 2 marks if any Depreciation is used.

6.1

f ( x ) = 5 - ½ x
f ^/ ( x ) = lim f ( x + h ) - f ( x )
h→0                   h

definition  A
SF         A
S                  CA

AO: ONLY 1 mark
Penalty of 1 mark for incorrect notation
(5)

No penalty for notation in the remaining questions

6.2.1

f ( x ) = a³ - 0, 5x³ - x^-1
f ^/ ( x ) = 0 - 1, 5x² + x^-2 OR
 - 1, 5x² + x^-2

derivative of   a³ A
-1, 5x ²         A
x ^{- 2}      A
(3)

6.2.2

x^½          A
product    CA
³/₂ x^½    CA
2 CA   (4)

xy + 2x³ = 7x⁶
y = 7x⁶ - 2x³ OR  y  = 7x⁵  - 2x²
           x

M          A
making y the subject A (2)

y = 7x⁵ - 2x²
dy = 35x ⁴ - 4x 
dx

35x⁴    CA
- 4x    CA  (2)

P(300) = 0,8(300)²   - 200(300)
= R12 000

profit           A (1)

P(x) = 0,8 x² - 200x
0,8 x² - 200x = 0
x (0,8 x - 200) = 0
x = 0 or x = 250
250 light bulbs

OR
0,8 x² - 200 x = 0
0,8 x² = 200 x
x = 200 x    ; x ≠
     0 0,8x
x = 250
250 light bulbs

factors M         A
correct value of        CA

OR
isolating x
M      A
correct value of  x       CA

AO: Full marks

(2)

P(x) = 0,8 x² - 200x
P^/(x) = 1, 6 x - 200
P^/(200) = 1, 6 (200) - 200
=120 bulbs per day

derivative     A
substitution CA
rate          CA 
NPU  (3)

[22]

7.1

g ( x ) = 9x + 18
x-intercept/ afsnit, g ( x ) = 0
0 = 9x + 18
- 9x = 18
x = - 2
Q( - 2 ; 0 )
y-intercept, x = 0
T ( 0 ; 18 )

OR 
( x + 2 ) ( x - 3)( x - 3) = 0
Q( - 2 ; 0 )
y-intercept, x = 0
T ( 0 ; 18 )

0 = 9x + 18              A
coordinates of Q       
coordinates of T     A
OR
M          A
coordinates of Q      A
coordinates of T      A
AO: Full marks (3)

7.2

f ( x) = ( x + 2)( x - 3)( x - 3)
= ( x + 2)( x² - 6x + 9) OR ( x - 3)( x² - x - 6)
f ( x ) = x³ - 4x² -3x + 18
b =- 4       c =- 3      d = 18

OR
f ( x ) = x³ + bx² + cx + d
f ( x ) = x³ + bx² + cx + 18
f ( - 2) = 0 : 2b - c = - 5        ….(1)
f ( 3) = 0 :  3b + c = - 15 (2)
(1) + (2): 5b   = - 20
b = - 4
2(-4) - c = - 5
c = - 3 

OR
f ( x ) = x³ + bx² + cx + d
f ( x ) = x³ + bx² + cx + 18
0 = (3)³ + b(3)² + c(3) + 18
0 = 45 + 9b + 3c
c = - 15 - 3b
f ^/ (c) = 3x² + 2bx + c
f ^/ (3) = 3(3)² + 2b(3) + c
c = - 27 - 6b
- 15 - 3b = - 27 - 6b
b = - 4
c = - 27 - 6(- 4)
c = - 3

repeated factor       A
quadratic factor    A
expanding  A

OR

d = 18    A
S         A
S      A

OR

d = 18
S
S

f ( x ) = x³ - 4x² - 3x + 18
f / (x ) = 3x² - 8x - 3 = 0
3x² - 8x - 3 = 0
( 3x + 1)( x - 3) = 0 OR  x = -(-8) ± (-8)² - 4(3)(-3)
                                                       2(3)
x = -¹/₃ or x ≠ 3

R coordinates  CA

(5)

correct inequality     A  (1)

critical values CA
correct notation    CA (2)

[15]

8.1

h = ( 66 - 2x - x) cm
=( 66 - 3x ) cm

height  A  (1)
NPU

8.2

V (in cm³ ) = πr ²h + ½ (⁴/₃πr³)
= πx²( 66 - 3x ) + ½ (⁴/₃πx³)
= 66p x² - 3p x³ + ²/₃πx³ 
= 66p x² - ⁷/₃πx³

F        A
SF      CA
S       CA
NPU  (3)

8.3

V( in cm³ ) = 66πx² - ⁷/₃πx³
dV = - 7πx ² + 132π x
dx
0 = -7πx ² + 132π x 
0 = -p x ( 7x - 132 ) OR  x =-(132π ) ± √(132π )² - 4(-7π )(0)
                                                               2(-7π)
-πx = 0 or x = 132
                        7
x ≠ 0
x = 132
        7

derivative CA
equating f ^/ (x) A
factors/ formula  CA

correct value of x CA

(4)

8.4

V(in cm³) = 66πx² - 7πx ³
= 66π(132)² - ⁷/₃ π(132)³ 
              7                 7
24 576,74  OR  7823,02π

SF    CA
max volume CA

NPR      (2) [10]

9.1.1

∫mx^pdx
= m(x ^p+1) + C p ≠ 1
        p + 1 
OR
= mx ^{p + 1}  + C p ≠ -1
     p + 1

C           A

OR
mx ^{p + 1}  
     p + 1
C      A (2)

9.1.2

- 2x¹ + C        CA (4)

area notation using integral   A
integral      A
substitution CA
substitution CA
S        CA

correct positive value of the bounded area         CA

OR

area notation using integral     A
integral        A
substitution  CA
substitution CA
S            CA
correct positive value of the bounded area CA

OR

area notation using integral     A
integral        A
substitution  CA
substitution CA
S            CA
correct positive value of the bounded area CA
NPR & NPU (6)

[12]