1.1

OED= 76°
a = 104°

angle   A
AO: Full marks (1)

1.2

AF = √(- 2 - (-8))²   + (8 - (-4))²
= √36 + 144
= √180
= 6√5

SF   A
length in simplified surd form CA
AO: Full marks  (2)

L2

1.3

m = tanθ
= tan76°
4

SF                   A
gradient (rounded)
AO: Full marks (2)

L2

1.4

M_AF( -2 + (-8); 8 +(-4)
              2           2
M_AF (- 5 ; 2)

SF   A
S coordinates of M_AFA
AO: Full marks  (2)

L1

m_AF  = y₂ - y₁ 
             x₂ - x₁
= 8 - (-4)  OR =   8 - 2   OR =  - 4 - 2  
  - 2 -(-8)         - 2 - (- 5)         - 8 -( - 5)

= 2
m_perpend = - ½
y - 2 = - ½ [x - ( - 5)] OR   2 = -½ ( - 5 ) + c
y = - ½ x - ⁵/₂ + 2    OR  c = - ½
y = - ½x -½

SF         A
gradient of m_AF  CA
gradient of m_perpend     CA
SF   CA from Q 1.4
equation     CA (5)

2.1.1

x² + y² = ( - 4 )² + ( -3)²
OR x² + y² = ( 4)² + ( -3)²
\ x² + y² = 25     OR
 y = ± √25- x²

SF            A
equation A
AO: Full marks (2)

L1

2.1.2(a)

B( 4 ; 3)

coordinates of B     A
(1)

2.1.2(b)

m_PQ  = - ⁴/₃

gradient of PQ
A   (1)

2.1.3

y - 3 = - ⁴/₃ (x - 4)
y = - ⁴/₃x + ¹⁶/₃ + 3
y = - ⁴/₃x + ²⁵/₃ 

OR

y = mx + c
3 = - ⁴/₃ (4 ) + c
c = ²⁵/₃
y = - ⁴/₃x + ²⁵/₃

SF            CA from
Q 2.1.2(a) & (b)
CA
equation CA

OR
SF                    CA
from  Q 2.1.2(a) & (b)
value of c   CA
equation   CA    (3)

L2

x² + 8y² - 32 = 0
¹/₃₂x² + ⁸/₃₂y² = ³²/₃₂
    x  ² +  y ² = 1
(4√2)²    2²

dividing both sides and transposing A
correct surd form
CA  Accept: AO: Full marks

CA from Q 2.2.1
both   y-intercepts  CA
both   x-intercepts  CA
elliptical shape

3.1.1

sin 3a = sin 3(32°)
0,99

value of sin 3a    A
NPR (1)

L1

3.1.2

sec ² θ - 1 = sec ² 20° - 1
     tan a            tan 32°

= 0, 21

OR
sec ² θ - 1 = sec ² 20°
   tan a            tan 32°   

= 0, 21

value of sec ² θ - 1 
                  tan a

OR
I        A
value of  sec ² θ - 1 
                  tan a
CA
NPR
AO: Full marks  (2)

L1

3.2.1

r =  √m² + 1
sin 35° =    1     
             √m² + 1

r             A
definition of  CA
AO: Full marks (2)

L2

changing to degrees   A
-cos 35°       CA
I            A
S         CA
ratio   CA

OR
changing to degrees   A
-cos 35°       CA
I            A
S         CA

OR
reduction  A
- cos 7 π         CA
       36
I       A
S        CA
ratio of  CA  (5)

2 cosθ + sinq = 0
sinθ = - 2 cosq
 sinθ  = - 2 cosθ ; cosθ ≠ 0
cosθ        cosθ     
tanθ = - 2

OR
2cosθ = -sinθ
2cosθ = sinθ ; sinθ ¹ ≠0
 sinθ      sinθ
cot θ = - ½
  1   = -½
tanθ       
tanθ = -2

transposing   A
M dividing both sides by  A (2)

OR
transposing     A
M dividing both sides by sinθ    A

(2)

tanθ = - 2
Ref/verw. ∠ » 63, 43°
θ » 180° - 63, 43° or θ » 360° - 63, 43°
θ » 116,57° or/of θ » 296,57°

ref             A
2^nd & 4^th quadrants A
116 , 57°     CA
296 , 57°    CA
AO: Full marks 
(4)

4.1.1

cot²2β - cosec²2β = -1

A (1)

4.1.2

tan²A×cosec²A - cos2π
= sin²A ×    1     - 1
   cos²A   sin ²A
=      1      - 1
   cos²A
= 1 - cos²A = sin ²A
      cos²A       cos²A
= tan²A

OR
tan²A×cosec²A - cos2π
= sin²A ×    1     - 1
   cos²A   sin²A
=      1      - 1
   cos²A
= sec² A -1
= tan²A

OR
tan²A×cosec²A - cos2π
= tan ² A (1+ cot ² A) - 1
= tan ² A + tan ² A × cot ² A - 1
= tan ² A +1 - 1
= tan² A

I
1
I
S

OR

I
S

OR
I          A
1      A
product CA
1           CA
S     CA

(5)

A
A A
CA CA

2         A (1)

cosec(180° + θ )×sin(360° - θ ) - [sin(180° + θ )]sec60° = cos² θ
L.H.S = cosec(180° + θ )×sin(360° - θ ) - [sin(180° + θ )]²
=(- cosecθ ) ×(- sinθ )- sin² (180° + θ )
=(-   1   ) × (- sin  θ ) - (- sinθ )²
    sin θ 
= 1 - sin² θ = cos² θ = R.H.S.

- cosecθ         A
-sin  θ      A
I               A
- sinθ          A
S   1 - sin²θ   CA
(5)

5.1

360°

ü period A (1)

5.2

a = - 2
b = 2

value of a
value of b
A A (2)

5.3

T(158,5° ; - 0,7)

x coordinate
y coordinate
Accept:  T(159,5° ; - 0, 7 ) (2)

5.4.1

135°< x <180°
x ∈ (135°;180°)
OR

end points                   A
correct notation A (2)

5.4.2

x = 45° or/of x = 135°

x = 45°
x = 135° (2)

[9]

cos 50° = 150 
                 AC
AC =  150  
       cos 50°
233, 36 m

OR

AB = 150 tan 50°
AC = √(150tan50°)² + (150)²
233,36 m

OR
BAC = 40°
sin 40° = 150 
                AC
AC =  150     OR    = 150 cosec40°
        sin 40°
233, 36 m

OR
BAC= 40°
  150   =  AC  
sin 40°  sin 90°
AC = 150 sin 90°
            sin 40°

233,36 m

trig ratio A
the subject AC  CA
length of AC CA

OR
Length of AB      A
M         CA
length of AC CA

OR
trig ratio A
the subject AC  CA
length of AC   CA

OR
SF               A
the subject AC  CA
length of AC CA
NPR (3)

6.2

Area of  ΔACD = ½ x AC x CD sin β
3, 3648 x 10⁴ = ½ x 233, 36 x 300 x sin b
sin b = 3, 3648 x 10⁴  =  2804 = 0 , 96126157
                 35004            2917
ref .∠ ≈ 74°
β ≈ 180° - 74°
= 106°

OR
Area of ΔACD = ½ x AC x CD sin β
3, 3648 x 10⁴ = ½ x 233, 36 x 300 x sin β
3, 3648 x 10⁴ = 35 004 sinβ
3, 3648 x 10⁴
sin β =3, 3648 x 10⁴
                35004
ref .∠ = 74°
b = 180° - 74°
= 106°

F             A
SF     CA from Q 6.1
S                     CA
ref .∠  CA
size of  b CA

OR
F     A
SF       CA from Q 6.1
S            CA
ref .∠        CA
size of b CA

NPR  (5)

6.3

AD² = AC² + DC² - 2AC × DCcos ACD
= ( 233, 36 )² + ( 300 )² - 2 ( 233, 36 ) ( 300 ) cos106°
= 183050 , 5296
AD » 427 ,84 m

F      A
SF   CA from Q 6.1, 6.2
S           CA
length of  AD 
CA  NPR   (4)

[12]

7.1

Perpendicular to the chord

ST      A (1)

7.2.1(a)

C₁ = 26, 6^ο [∠^s in thesame segment (arc or chord)]

OR
sin C₁ =  4   
              4√5
C₁ = 26,6^ο

ST RE

OR
ratio A
size of C1  A (2)

7.2.1(b)

A = 180^ο - 90^ο - 26,6^ο [ sum/som∠^s Δ]
= 63,4^ο

OR
90° = A + 26, 6° [ext. ∠ of Δ = sum of 2 int. opp. ∠s]
A = 63,4^ο

OR
cos A = 4   = √5 
           4√5     5
 A = cos ^-1√5 = 63, 4°
                  5

ST         CA from Q 7.2.1(a)

OR

ST   CA from Q 7.2.1(a)
ST
A
(1)

B1 = 90^ο - 26, 6° [ Ðin semi circle]
= 63,4^ο 

OR
cos B1 =  4  
              4√5
B₁ = 63, 4°

OR
A₁ = B₁ = 63, 4° [∠s opp. equal sides OE⊥AB and AE = EB]

ST
RE

OR
cos ratio  A
ST       A

OR
ST
RE  (2)

length of AE       A (1)

length of ED         A (1)

4² + (x + 5)²  = (4√5)²
16 + x² +10x + 25 = 80
x² +10x - 39 = 0
(x - 3)(x +13) = 0
x =3  or  x ≠-13

One mark penalty if a candidate include x=-13 as the answer

OR
5 - x = tan 26, 6°
  4
5 - x = 4 tan 26,6°
5 - x » 2, 003» 2
x » 2,997 »3

OR
x² = (5)² - (4)²
x² = 9
x  = 3

OR
4h² - 4dh + x² = 0
4h² - 4(10)h + (8)² = 0
4h² - 40h + 64 = 0
h² - 10h + 16 = 0
( h - 8) ( h - 2 ) = 0
h = 8 or h = 2
EC = x + 5
8 = x + 5
x = 3

OR
sin 63, 4° = x + 5
                   4√5
8 = x + 5
x = 3

OR
CE²  = (4   5)² - (4)²
CE² = 64
CE = 8
x = 8 - 5
x = 3

M         A
S     CA
factors/ formula     CA
correct value of x
CA

OR
tan ratio A
S            CA
S         CA
correct value of  x
CA

OR
Th. of Pythagoras     A
subst.             CA
S         CA
correct value of x
CA

OR
factors/ formula    CA
both values of           CA
correct value of  A
substitution S     CA
correct value of

OR

Theorem of Pyth.      A
substitution      A
value of 
correct value of  CA
AO: Full marks
(4)

8.1

90°/ Right angle

90°/ Right angle A (1)

O₁ = 60^ο [∠at centre = 2∠at circumferen]

OR
OBA = 90°        [rad ^ tan]
OBC = 60°
OBC =C₃ = 60°
∠s opp. equal sides, OC and OB radii
O₁ =180º - 120° = 60° sum of ∠s of Δ

ST       CA from Q 8.2.1 (a)
RE         A

OR
ST     CA from  Q 8.2.1 (a)
ST       A (2)

8.2.1(d)

O₁  = E = 60^ο corresp∠s CO || FE   
D₄ =E = 60^ο ∠s opp. = sides ]
O₂ =D₄ = 60 ^ο [ Alt ∠s, CO ||FE]

ST          A
ST         A
ST     A
(3)

8.2.2

C₁ = E = 60^ο ext ∠ of cyclicquad
D1  = CBO = 60^ο ext ∠ of cyclicquad
FC = FD [sides opposite=∠s]

OR
FB = FE   [ sides opp. = ∠ s]
DE = CB  [equilateral Δ]
FB - CB = FE - DE
FC = FD

ST              CA
RE             A
ST        CA
RE        A

OR
ST       CA
RE          A
ST   CA
M          A (4)

[14]

9.1

Parallel to the third side

ST           A (1)

9.2.1

OGC = 90° [tan ^ radius]
OEF= 90°   [ OG ^ GC]
DF || BC     [corr. ∠s are equal]

ST     
RE    A
RE   A (3)

9.2.2

(a)

BC : DF = 10 : 6 = 5 : 3

OR
D ODF/// Δ OBC
OD = OF = DF = 3
OB    OC    BC    5
BC : DF = 5 : 3   
OR  BC : DF = 10 : 6

ü proportionality A
simplified ratio     A

OR/OF

ü proportionality/eweredigh

A

ü simplified ratio/

vereenv.verhouding            A

AO: Full marks/Volpunte

(2)

9.2.2

(b)

EG = 2 
OG    5
EG = 2 
6       5
EG = 12 units OR 2, 4 units

OR
OD = OE
OB    OG
 3 =OE
5      6
OE = 18 = 3, 6
          5
EG = 6 - 3, 6 = 2, 4

proportionality A
substitution     A
length of  EG CA 

OR
proportionality A
substitution    A
length of  EG  CA (3)

9.2.2

(c)

OE = 6 - 2,4 = 3,6 units
Area (Opp.) ΔOBG = ½ ( 10)( 6 )sin BOG
Area (Opp.) ΔODE    ½ (6)(3, 6 )sin BOG
= 25
    9

OR
Area (Opp.) ΔOBG = ½( BG)( OG )
Area (Opp.) ΔODE     ½(DE)(OE )
= 5 x  6  
   3   3, 6
= 25 
    9

OR
Area (Opp.) ΔOBG = ½ (4 ,8)( 3,6)
Area (Opp.) ΔODE       ½ (8)(6)
=  24  
  8,64
= 2,78

length of  OE CA from Q 9.2.2 (b)
SF          CA
value  CA

OR
length of  OE CA from Q 9.2.2 (b)
SF            CA
value          CA

OR
length of  DE
CA from Q 9.2.2 (b)
SF     CA
value      CA (3)

In ΔDOE and ΔBOG
DOE = BOG   [common ∠]
OED = OGB = 90°   [proved]
ODE = OBG [3rd ∠]
ΔDOE |||ΔBOG    ∠∠∠

OR
In ΔDOE and ΔBOG
OE = 3,6 = 3 
OG    6      5
OD = 6 =  3 
OB   10    5
DE = 3 
BG    5
Δ DOE ||| ΔBOG (corr.sides are in proportion)

ST            A
ST        A
RE    A 

OR
one ratio     A
two ratios  A
RE             A

(3)

10.1.1

BC = 20 cm – 1,5 cm
= 18,5 cm

length of A  (1)

10.1.2

4h² - 4dh + x² = 0
4h² - 4(40)h + (32)² = 0
4h² - 160h +1024 = 0
4(h² - 40h + 256) = 0
4(h - 32)(h - 8) = 0
h = 32 or / of h = 8
h = AC = 8 cm
AB = 18,5 cm - 8 cm = 10,5 cm

OR
OC = ½( 40 ) = 20 cm
OC = OK = 20 cm  radii
OK² - KA² = OA²
( 20 )² - (16 )² = OA²
OA = 12 cm
AB = (12 - 1, 5) cm = 10 , 5 cm

OR
In ΔOAL:
OC = OL = 20 cm
OL² = OA² + AL²
(20)² = OA² + (16)²
400 - 256 = OA²
OA = √144 = 12
AB = OA - OB
= 12 - 1, 5
= 10 ,5 cm

F            A
SF            A
factors/formula  CA
length of  AC    CA
length of AB      CA

OR
length of  OC      A
SF           A
length of OA      CA
AB = 12 - 1,5       CA
length of AB    CA

OR
length of OL
substitution
value of  OA
M
length of AB

A A CA

CA CA (5)

w = 64π rad/min
= 64p x 2π rad/min
= 128π ² rad/min

OR»1263,13 rad/min

w =2πn
128π ² = 2πn OR 1263,13 = 2πn
128π ² =  2πn
  2π            2π
n = 64π rev/min OR » 201, 03 rev/min

conversion
SF
value of
value of v
unit

v = πDn
= π(40 cm)x(64π )
v = 25266,19 cm/min

OR
v = 421,10 cm/sec

OR
v = 4, 21 m/sec

OR
v = 252, 66 m/min
v = πDn
= π (40 cm)x(64π )
v = 25266,19 cm/min

OR
v = 421,10 cm/sec

OR
v = 4, 21 m/sec

OR
v = 252, 66 m/min

F              A
SF         A
value of v  CA
unit

10.2.1

AOB= 4 x 20°= 80° = ⁴/₉ π
= 1, 4

OR
AOB = ⁴/₁₈ x 360° = 80° =⁴/₉π 
= 1, 4

OR
P = 2πr = 2π (5, 2) »32, 67...... cm
Dist. between each spoke = 32, 67 =1,815cm
                                                18
AB = 4 x 1,815.....
= 7 , 26... cm
s = rθ
7, 26.... = (5, 2)θ
θ » 1, 4

M         A
magnitude of AOB   A
∠ in radians CA

OR
M        A
magnitude ofAOB  A
θ in radians CA

OR
Perimeter  A
SF         A
∠ in radians CA (3)

s = rθ
=5, 2 cm x 1, 4  or5, 2 cm x ⁴/₉ π
» 7,3cm

OR
s = ⁴/₁₈ x 2πr
= ⁴/₁₈ x 2π ( 5, 2 ) cm 
» 7,3cm

F A
SF      CA
arc length CA

OR
M            A
⁴/₁₈           A
arc length CA (3)

Area of a sector = ^rs/₂
= 5, 2 x 7 , 3
         2
= 19 cm²

OR
Area of a sector = r²s
                               2
(5, 2 )² x 1, 4
        2
= 19 cm²

OR
Area of a sector = 4 πr ²
                            18
=  4 π (5, 2 )²cm ²
  18
» 19 cm²

F                               A
SF                          CA
area of sector   CA

OR
F    A
SF   CA
area of sector         CA

OR
ratio         A
substitution  CA
area of sector        CA

(3)

11.1.1

b =  √2
» 1,4 m

value of b A
NPR (1)

11.1.2

A_irr= ²/₃ x 19 ,125 m² = 12, 75 m²
A_T = a (m₁ + m₂ + m₃ +........ + m_n)
12,75 =1, 5(1,8 + 2 + 2 +1, 4 + 1, 4 +1, 3 + 1, 3 +1,8 + 1,8 + q)
                        2            2               2                 2               2 
12,75 =1, 5 (1, 9 +1, 7 +1, 35 +1, 55 + 1,8 + q)
                                                                  2
8, 5 = 6 , 5 + 1,8 + q
                         2
4 = 1,8 + q
q = 2,2 m

OR
A_irr= ²/₃ x 19 ,125 m² = 12, 75 m²
12 , 75 =1, 5(1,8 + q + 2 + 1, 4 + 1, 3 + 1,8)
                          2 
8, 5 = 6 , 5 + 1,8 + q
                          2
4 = 1,8 + q
q = 2 , 2 m

value of A_irr  A
F          A
value of a      A
SF           CA
value of q CA

OR
value of A_irr  A
F      A
value of  a     A
SF   CA
value of  q   
CA

(5)

11.2.1

V = l xb xh
70 m³ = 3,5m x 10 m x h
h = 2 m

value of h     A(1)

11.2.2

r =½ x 3,5m= 1, 75 m

value of r       A(1)

11.2.3

SA_Rec.Prism = 2´(bx h) + 2 x (l x h)
= 2 x (3, 5m x 2m) + 2 x (10m x 2m)
= 54 m²
SA_½cylinder = ½ x (2π r ² + 2π rh)
=  ½ [2π (1, 75)² + 2π (1, 75)(10)] m²
= 20,56p m²OR » 64 , 60 m²
SA_T = 54 m² + 64 , 60 m²OR = 54 m² + 20,56
= 118, 60 m²
YES, the total surface area is less than 120 m²

SF CA from Q11.2.1
value of  A_Prism      CA
SF CA from Q11.2.2
value of A_½cylinder   CA
SA total   CA
conclusion must be based on total surface area CA

(6)

[14]