1.1.1

x² + 2x -15 = 0
(x - 3)(x + 5) = 0
∴ x = 3         or / of          x = -5

OR

? factors 
? x = 3       ? x = -5   (3)

OR 

? substitution 
? x = 3      ? x = -5   (3)

1.1.2

Penalise 1 mark for incorrect rounding

? substitution 

? x = 0, 43 ? x = -0, 77

(3)

x(x - 3) ≥ -2
x² - 3x + 2 ≥ 0
(x -1)(x - 2) ≥ 0
∴  x ≤ 1     or  x ≥  2

? standard form

? factorisation

? x ≤ 1  or/of ? x ≥  2  (4)

43 - x = x² - 2x +1
x² - x - 42 = 0
(x - 7)(x + 6) = 0
∴ x = 7     or      x # - 6

? isolating the surd

? squaring both sides

? standard form 

 ? factorisation 

? selection  (5)

1.2

2y - x = 3                   (1)
y² + 3x = 2xy             (2)

x = 2y - 3                   (3)
Substitute(3)into(2) 
y² + 3(2 y - 3) = 2 y(2 y - 3)
y² + 6 y - 9 - 4y² + 6 y = 0
-3y² +12 y - 9 = 0
y² - 4 y + 3 = 0
( y - 3)( y -1) = 0

∴ y = 3 or y = 1
x = 2(3) - 3    or    x = 2(1) - 3
= 3                          = -1 

OR
2y - x = 3                  (1)
y² + 3x = 2xy            (2)
y = x + 3                   (3)
     2     2
Substitute (3) into (2) 

? x = 2y - 3

? substitution 

? standard form

? factorisation 

? y-values 

OR 

? y = x + 3     
     2     2

 ? substitution

? standard form  

? factorisation 

? x-values  

? y-values    (5)

For non-real roots:
Δ < 0 
p(6 - p) - 9 < 0
- p² + 6p - 9 < 0
p² - 6p + 9 > 0
(p - 3)² > 0
∴ p∈  but    p # 3

OR

For non-real roots:
Δ< 0
p(6 - p) - 9 < 0 
- p² + 6p - 9 < 0
(3 - p)( p - 3) < 0
∴ p∈   but p # 3

? Δ< 0

? standard form  

? factorisation  

? answer  

OR

? Δ< 0

? standard form 

? factorisation 

? answer (4)

8 

2a = 4
∴ a = 2
3a + b = 4
3(2) + b = 0
∴  b = - 6
a + b + c = -16
2 - 6 + c = -16
∴  c = -12
T_n = 2n² - 6n -12

? a = 2

? b = -6

? c = -12

? T_n = 2n² - 6n -12 (4)

T₃₈ = 2(38)² - 6(38) -12
= 2648

? substitution 

? answer  (2)

2.1.4

General term for first differences:
T_n = 4n - 4
400 = 4n - 4
∴ n = 101

T_n(linear) = (T_n+1 - T_n )_(quadratic)
∴ n = 101 and  n +1 = 102
The termsare :101 and  102

OR

2(n +1)² - 6(n +1) -12 - (2n² - 6n -12) = 400
2n² + 4n + 2 - 6n - 6 -12 - 2n² + 6n +12 = 400
4n - 4 = 400
4n = 404
∴  n = 101
∴ Between  T₁₀₁ and  T₁₀₂

OR

Trialand error 
T₁₀₂ = 2(102)² - 6(102) -12 = 20184
T₁₀₁ = 2(101)2 - 6(101) -12 = 19784
Difference: 400
∴ BetweenT₁₀₁ and T₁₀₂

? T_n = 4n - 4

? T_n = 400

? answer 

OR 

? 4n - 4 = 400 ?

? answer 

OR 

?subst. for T₁₀₁ and T₁₀₂

? 400

? answer   (3)

2.2.1

T_n = a + (n -1)d
89 = 2 + (n -1)(3)
3n -1 = 89
3n = 90
n = 30

? substitution  

? answer   (2)

? Sum formula 

? substitution  

? answer  

OR  

? Sum formula  

? substitution  

? answer   (3)

3.1

T₉ = ar⁸ = 768
T₁₃ = ar¹² = 12 288
ar¹² = 12 288
ar⁸        768
∴  r⁴ = 16
r =± 2 
a =   768  
       (±2)⁸
= 3

?ar¹² = 12 288
   ar⁸        768 

? r =± 2 

? value of a 

(3)

3.2.1

S₂ = 54 - 24
        19   19
= 30
   19

? answer 

(1)

T₁ + T₂ = 30
               19
a + ar = 30
             19
a(1+ r) = 30
               19
a =      30         
        19(1+ r)

3.2.3

S_∞  =    a    = 54
          1- r      19
∴ a = 54(1- r)
           19
a =      30       ................. from (3.2.2)
      19(1+ r)
∴      30      = 54(1- r)
    19(1+ r)       19
(1- r)(1+ r) = 30 
                     54
1- r² = ⁵/₉
r² = ⁴/₉
∴ r = ²/₃

? a = 54(1- r)
           19 

? equating

 ?r² = ⁴/₉

 ? answer 

(4)

[9]

4.1

D(0 ; 1)

? (0 ; 1)

(1)

4.2

x = -2 ; y = -1

? x = -2 ? y = -1

(2)

4.3

?  ∈ R   but ?  # −2

? ?  ∈ R   ??  # −2

(2)

4.4

g(x) = b^x
8 = b^-3
8 = 1
       b³
b³ = 1
        8
∴ b = 1 
         2

? substitution

? answer 

(2)

4.5

y =      -3       -1
         x + 2
0 =     -3     -1
       x + 2
1 =    -3    
       x + 2
x + 2 = -3
x = -5
∴ A(-5; 0) 

y =   -3    -1
     0 + 2
=- 5
    2
∴ C (0; - ⁵/₂ )

? substitution y = 0  

? x = -5

? y =- 5
           2

(3)

∴  y = log _½ x

OR 

y = 2^-x
∴ x = 2- y
y = -log₂ x

? 
? y = log _½ x

OR 

? x = 2- y

? y = -log2 x

(2)

(2)

-x² - 2x + 8 = 0
x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
∴ x = -4 or  x = 2
∴ R(-4; 0) and  S(2 ; 0)
∴ RS = 6 units 

? f (x) = 0
? factorisation 
? values of x 
? answer 

5.2

? method 

? x = -1 

? y = 9 

OR 

? - b
     2a

? x = -1

? y = 9 

OR 

? -2x - 2 = 0 

? x = -1 ? y = 9

(3)

5.3.1

f (x) = -x² - 2x + 8
f '(x) = -2x - 2
∴ -2x - 2 = 2
∴ x = -2
∴  y = - (-2)² - 2(-2) + 8
= 8
∴ W (-2;8)

? f / (x)

? f / (x) = 2 

? x = -2 

? y = 8

(4)

5.3.2

g(x) = mx + c
m = - ½  (⊥ lines ) 
c = 8
∴ y = - ½ x + 8

? gradient  

? equation 

(2)

f (x) = -x² - 2x + 8
h(x) = - f (x -1)
= - [-(x -1)² - 2(x -1) + 8]
= - [-(x² - 2x +1) - 2x + 2 + 8]
= - [-x² + 2x -1- 2x + 2 + 8]
= x² - 9

OR

h(x) = (x + 3)(x - 3)
= x² - 9 

OR

New turning point  = (0 ; –9)
y = x² - 9

? - f (x -1)
? substitution 
? simplifying 
? equation  

OR 

?? roots 3 and –3
? +( x + 3)(x – 3)
? equation 

OR 

? (0 ; ??–9)
? equation 

? subst. into correct formula
? simplification
? answer (3)

6.2

? n = 144

? subst. into correct formula 

? adding final month’s interest

? answer  

OR 

? n = 144

? subst. into correct formula

? adding final month’s interest

? answer    (4)

6.3.1

? i = 0, 093 and n = 72
          12

? substitution into correct formula

? answer   (3)

? i = 0,093 and/en n = 32
           12
? subst. into correct formula
? P = 179 667, 32

OR

? i = 0,093 and/en n = 40
           12
? subst. Into correct formula

? P = 179 667, 32      (3)

? subst. into correct formula 

? correct use of logs

? = 28,73 

? n = 29 months  

OR  

? subst. into correct formula 

? correct use of logs 

? = 28,73

? n = 29 months   (4)

7.1

? substitution  

? expansion  

? simplification  

? notation and lim (-4x - 2h)
h -> 0

? answer        (5)

7.2.1

? 2x^½ 

? 28x³ ? 3x^½              (3)

7.2.2

? 3x - 7         ? -6x^-1
? 3 and differentiating constant
? +6x^-2     (4)

[12]

8.1.1

f (x) = 2(x - x₁ )(x - x₂ )(x - x₃)
= 2 ( x +1)( x - ½)( x - 3)
= ( x +1)(2x -1)( x - 3)
= ( x +1)(2x² - 7x + 3)
= 2x³ - 7x² + 3x + 2x² - 7x + 3
= 2x³ - 5x² - 4x + 3
f (x) = 2x³ + bx² + cx + d
∴ b = -5, c = - 4 , d = 3

?? f (x) = 2( x +1)( x - ½ )( x - 3) 

OR

?? f (x) = ( x +1)(2x -1)( x - 3)
? exapnsion 
? simplifying  (4)

8.1.2

f '(x) = 6x² -10x - 4
0 = 6x² -10x - 4
∴ 3x² - 5x - 2 = 0
(3x +1)( x - 2) = 0
∴ x = - ¹/₃   or  x = 2
∴ N is at f (2)
f (2) = 2 (2)³  - 5(2)²  - 4 (2) + 3
= -9
∴ N (2 ; - 9)

? f '( x) = 6x² -10x - 4 = 0
? factorisation 
? chosing : x = 2
? y = -9

(4)

8.1.3 (a)

- ¹/₃ < x < 2

?? answer 

(2)

8.1.3 (b)

? f ''(x) =12x -10
? f ''(x) < 0
? answer 

OR

? x = ⁵/₆

? f (0) = 0
? (m ; 0)
? shape 

[16]

9.1

A = (½ ×15x × 8x × 2) + (15xy) + (8xy) + (17xy)
5760 = 120x² + 40xy
∴y = 5760 -120x²
            40x

? total surface area
? 5760 = 120x² + 40xy

(2)

9.2

V = (½b.h) × H
V = ½ × 15x × 8x × y
= ½ × 15x  × 8x ×  5760 -120x²
                                  40x
= 60x (144 - 3x²)
= 8640x -180x³

9.3

V '(x) = 8640 - 540x²
V '(x) = 0
∴ 8640 - 540x² = 0
8640 = 540x²
x² = 16
∴ x = 4

? V '(x) = 8640 - 540x²
? V '(x) = 0
? simplification
? answer

(4)

[8]

10.1.1

P(B) = 1- P(not)
= 1- 0, 45
= 0, 55

? 0,55  (1)

10.1.2

P(A and/en B) = P(A)×P(B)
= 0, 2 × 0, 55
= 0,11

P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
= 0, 2 + 0, 55 - 0,11
= 0, 64    or   ¹⁶/₂₅

? P(A)×P(B)
? substitution 
? answer         (3)

10.2

P(late) = ¹/₂ x + ³/₅(1- x)
¹/₂ x + ³/₅ (1- x) = ⁸/₁₅
15x +18(1- x) = 16
15x +18 -18x = 16
- 3x = -2
x = ²/₃

 ? ¹/₂ x + ³/₅(1- x)

? equating 

? substitution 

? answer  (4)

[8]